INDUKSI MATEMATIKA

INDUKSI MATEMATIKA
5 (100%) 1 vote

Pengertian Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan salah satu cara untuk membuktikan rumus atau membuktikan pernyataan matematika atau juga lebih tepatnya adala metode pembuktian terhadap suatu pernyataan apakah pernyataan tersebut berlaku dan dapat diterapkan pada semua kasus.  Misalnya adalah contoh kasus deret angka dibawah ini:

1 + 2 + 3 + … + n

Nilai ntertentu kita dapat menjadi jumlahnya dari deret bilangan yang ada diatas, contohnya adalah apabila nilai untuk n=2maka akan didapatkan hasil:

1 + 2 = 3

Jadi nilai n=2 yang didapatkan dari jumlah deretnya adalah 3.

Contoh lainnya, kita akan mencari n=8, cara mencarinya adalah:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36

Nilai n=8yang telah didapat adalah 36.

Hal tersebut berlaku dengan nilai – nilai n yang lain yang akan dicari.

Selain cara tersebut diatas, ternyata ada rumus yang dapat digunakan untuk mengetahui nilai ndengan bilangan asli berapapun. Rumus jumlahnya adalah sebagai berikut:

Dan hasilnya adalah sama dengan menggunakan rumus sederhana dengan hasil yakni 36.

Dalam contoh diatas kita hanya menggunakan nilai yang kecil, bagaimana jika mencari nilai yang lebih dari puluhan bahkan sampai ratusan. Oleh sebab itu, dibawah ini akan dibuktikan agar mempermudah untuk mengerjakannya dengan menggunakan induksi matematika.

Konsep Dasar Induksi

Dengan menggunakan rumus induksi matematika ini kita dapat membuktikan rumus dari Sn tanpa perlu untuk menghitung satu persatu dari nilai Sn seperti pada contoh diatas. Dalam hal ini, kita hanya perlu dua langkah yaitu:

  1. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk nilai nyang dasar (pada contoh diatas buktikan untuk digunakan dalam n=1)

Untuk membuktikannya maka kita masukkan nilai dari n=1kedalam persamaan, lalu hitung deretnya. Jadi kesimpulannya: S1 benar atau Sn benar untuk n=1.

  1. Membuktikan bahwa apabila rumus tersebut benar untuk n=k, maka rumus tersebut juga akan benar apabila digunakan untuk n=k+1.

Pada pembuktian yang pertama didapatkan bahwa Sn benar untuk n=1lalu untuk n=2rumus tersebut adalah benar dan seterusnya sampai ntak terhingga.

READ  Mengenal Tabel Sin Cos Tan

Apabila masih bingung dengan penjelasan diatas, dibawah ini akan dibuktikan dengan menggukanan premis:

Premis 1 =apabila Sn benar untuk n=1 maka Sn juga benar untuk n=k+1

Premis 2 =Sn benar untuk n=1

Kesimpulannya adalah dilihat dari premisnya karena nilai dari k=1maka k+1sudah jelas bahwa itu adalah bernilai 2. Atau dapat kita logikakan bahwa n merupakan bilangan yang sama dengan k, karena pernyataan pada premis kedua adalah n=1 maka k juga sama dengan satu, sehingga n=k+1 adalah n=1+1 dan hasilnya n=2.Hal tersebut berlaku pada nilai deret angka selanjutnya sampai tak terhingga.

Pembuktian Induksi Matematika

Setelah kita mempelajari konsep dasar dari Induksi Matematika, selanjutnya kita akan melakukan proses pembuktian dengan menggunakan induksi matemika dengan contoh seperti diatas dengan deret seperti dibawah ini:

Deret diatas memiliki Un = ndan Sn = n(n+1)/2akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika dengan rumus Sn adalah benar.

Apabila persemaan diatas adalah benar maka kita sama saja akan membuktika bahwa jika Sk adalah benar maka Sk+1 adalah benar pula. Jadi kita akan mencoba memasukkan n=kdan n=k+1,sehingga akan didapat:

Tags: