induksi-matimatika

Pengertian Induksi Matematika, Contoh Soal dan Penyelesainnya

Diposting pada
Pengertian Induksi Matematika, Contoh Soal dan Penyelesainnya
4.2 (84%) 5 votes

Pengertian Induksi matematika

Induksi matematika merupakah suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum. Biasanya induksi matematika ini akan menjadi sebuah metode deduktif yang nantinya akan membuktikan ataukah suatu pernyataan itu benar atau salah.

Dengan mengetahui beberapa contoh soal induksi matematika nantinya, mungkin kalian baru paham dan mengetahui, mengapa disebut pembuktian secara deduktif. Dalam induksi matematika sendiri, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli.

Induksi matematika atau biasa disebut dengan induksi matematis adalah suatu metode pembuktian pernyataan matematika yang melibatkan bilangan asli dan pembuktiannya itu dalam dua tahap, yaitu basis induksi dan langkah induksi. Mungkin diantara kalian ada yang belum mengetahui apa maksud kalimat diatas. Berikut adalah langkah-langkah Induksi Matematika :

  1. P(n) = 1 adalah benar(basis).

Membuktikan bahwa pernyataan tersebut adalah benar, yaitu n = 1

  1. Dibuat permisalan P(n) adalah benar(induktif)

Mengasumsikan pernyataan tersebut benar, yaitu n = p

  1. P(n+1) adalah benar

Membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar, yaitu n = n + 1

Untuk contoh soal induksi matematika, dapat kita coba setelah mengetahui langkah-langkah yang harus diperhatikan dalam melakukan induksi matematika. Untuk lebih jelasnya, sekali lagi saya jelaskan bahwa untuk menerapkan induksi matematik, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(n+1) ke dalam P(n) yang diberikan.

Secara singkat bahwa, untuk menyatakan persamaan P(n+1), subtitusikan kuantitas n+1 kedalam pernyataan P(n). Mari langsung saja kita simak contoh soalnya :

Buktikan bahwa

  • P(n) = 1+2+3+…+n = ½ n(n+1)

P(1) = 1

P(1) = ½ n(n+1)

P(1) = ½ .1 (1+1)

P(1) = 1(benar)

  • P(n) = ½n (n+1)

Kita misalkan, n = 3

P(3) = ½ .3 (3+1)

READ  Koordinat Cartesius, Pengertian dan Fungsi

P(3) = 6 (benar)

  • Untuk P (n+1)

1+2+3+…+n = ½n (n+1)

Maka :

1+2+3+…+n+n+1

= ½ (n+1) ((n+1)+1)

= ½ (n+1) (n+2)

Sehingga, gunakan sifat-sifat bilangan :

1+2+3+…+n+n+1

= (1+2+3+…+n) + n+1

= ½ n (n+1) + (n+1)

= (n+1) ½ (n+2)

= ½ (n+1) (n+2)

Jadi, terbukti antara ruas kiri dan kanan itu sama.

Contoh soal induksi matematika lainnya adalah :

  • Buktikan bahwa

13 + 23 + 33 + … + n3 = ¼ n2 (n+1)2

Penyelesaian :

  • Langkah 1

13 = ¼ (1)2 (1+1)2 = 22/4

1 = 1 (benar)

  • Langkah 2 (n = k)

13 + 23 + 33 + … + k3 = ¼ k2 (k+1)2

  • Langkah 3 (n = k+1)

13 + 23 + 33 + … + k3 (k+1)3 = ¼ (k+1)2 (k+2)3

13 + 23 + 33 + … + k3 (k+1)3 + (k+1)3  = ¼ (k+1)2 (k+2)3 + (k+1)3

(kedua ruas ditambah (k+1)3)

13 + 23 + 33 + … + k3 (k+1)3 = (k+1)2 ( ¼ k2 + (k+1))

13 + 23 + 33 + … + k3 (k+1)3 = (k+1)

13 + 23 + 33 + … + k3 (k+1)3 = ¼ (k+1)2 (k2 + 4k+4)

13 + 23 + 33 + … + k3 (k+1)3 = ¼ (k+1)2 (k+2) (k+2)

13 + 23 + 33 + … + k3 (k+1)3 = ¼ (k+1)2 (k+2)2

 Jadi, terbukti.

Nah, itulah beberapa contoh soal Induksi Matematika, bila kalian masih kurang paham cobalah berlatih soal dengan tekun,  Semoga bermanfaat dan jangan lupa untuk di share keteman-temannya.