Pengertian : Induksi Matematika, Prinsip dan Contohnya, Lengkap

Diposting pada
Pengertian : Induksi Matematika, Prinsip dan Contohnya, Lengkap
5 (100%) 2 votes

Pengertian Induksi Matematika

ANGKA ALAMI adalah angka perhitungan: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Induksi matematika adalah teknik untuk membuktikan pernyataan teorema, atau formula – yang menegaskan setiap bilangan alami.

Yang dimaksud dengan “setiap”, atau “semua,” adalah bilangan asli, yang kami maksud adalah nama apa pun yang kami beri nama.

Misalnya,

1 + 2 + 3 +. . . + n = ½n (n +1).

Ini menegaskan bahwa jumlah angka berurutan dari 1 ke n diberikan oleh rumus di sebelah kanan. Kami ingin membuktikan bahwa ini berlaku untuk n = 1, n = 2, n = 3, dan seterusnya. Sekarang kita dapat menguji rumus untuk angka yang diberikan, katakanlah n = 3:

1 + 2 + 3 = ½· 3· 4 = 6

itu benar. Ini juga berlaku untuk n = 4:

1 + 2 + 3 + 4 = ½· 4· 5 = 10.

Tetapi bagaimana kita membuktikan aturan ini untuk setiap nilai n?

Metode pembuktiannya adalah sebagai berikut. Kami menunjukkan bahwa jika pernyataan – aturan – berlaku untuk angka k tertentu (mis. 104), maka hal yang sama berlaku untuk penggantinya, k + 1 (mis. 105).

Kami kemudian menunjukkan bahwa pernyataan itu akan benar untuk 1. Itu kemudian mengatakan bahwa pernyataan itu akan benar untuk 2. Oleh karena itu, itu akan berlaku untuk 3. Itu benar untuk setiap bilangan asli yang kami sebutkan.

Prinsip induksi matematika.

Jika

  • ketika pernyataan itu benar untuk bilangan asli n = k,
    maka hal yang sama berlaku untuk penerusnya, n = k + 1;

dan

  • pernyataan benar untuk n = 1;

Maka pernyataan itu akan berlaku untuk setiap n bilangan real.

 

Untuk membuktikan pernyataan dengan induksi, kita harus membuktikan bagian 1) dan 2) di atas.

Hipotesis Langkah 1

“Pernyataan ini berlaku untuk n = k” – disebut asumsi induksi, atau hipotesis induksi. Itulah yang kami pertimbangkan ketika kami membuktikan teorema dengan induksi.

Contoh 1. Buktikan bahwa jumlah angka n asli diberikan oleh rumus ini:

1 + 2 + 3 + .  .  .  + n  = n(n + 1)
2
READ  Persamaan Lingkaran

Pembuktian, Kami akan melakukan Langkah 1 dan 2 di atas, Pertama, kita akan berasumsi bahwa rumus ini benar untuk n = k; yaitu, kita akan menganggap:

1 + 2 + 3 + .  .  .  + k   = k(k + 1)
2

Ini adalah asumsi induksi. Dengan asumsi ini, kita harus membuktikan bahwa rumus itu benar untuk penggantinya, n = k + 1.

Artinya, kita harus menunjukkan:

1 + 2 + 3 + .  .  .  + (k + 1)   = (k + 1)(k + 2)

Untuk melakukan ini, kami menambahkan istilah berikut (k + 1) di kedua sisi asumsi induksi, baris (1):

Ini adalah baris (2), yang merupakan hal pertama yang ingin kami tampilkan.

Selanjutnya, kita harus menunjukkan bahwa rumus itu benar untuk n = 1. Kita punya :

1 = ½· 1· 2

itu benar. Kami sekarang telah memenuhi kedua persyaratan prinsip induksi matematika. Karena itu rumus ini berlaku untuk setiap bilangan alami.

Contoh 2. Buktikan bahwa aturan eksponensial ini berlaku untuk setiap bilangan alami n:

(ab)n = anbn.

Bukti. Sekali lagi, kita mulai dengan mengasumsikan bahwa itu benar untuk n = k; yaitu, kita mengasumsikan :

(ab)k = akbk 

Dengan asumsi ini, kita harus menunjukkan bahwa aturan tersebut benar untuk penggantinya, n = (k +1). Kita harus menunjukkan :

(ab)k + 1 = a+ 1bk + 1

Saat menggunakan induksi matematika, siswa harus selalu menulis dengan tepat apa yang akan ditampilkan.

Sekarang, misalkan, baris (3), bagaimana kita bisa menghasilkan baris (4) darinya?

Cukup gandakan kedua sisi garis (3) dengan ab :

(ab)kab   =   akbkab
  =   akabkb

karena urutan faktor tidak penting,

=  ak + 1bk + 1.

Ini adalah baris (4), yang ingin kami tampilkan.

Oleh karena itu, kami telah menunjukkan bahwa jika teorema itu benar untuk setiap bilangan asli yang diberikan, maka itu juga berlaku untuk penggantinya, k +1.

Selanjutnya, kita harus menunjukkan bahwa aturannya benar untuk n = 1

(ab)1  =  a1b1.

Tetapi, (ab)1 = ab;  and  a1b1 = ab.

Oleh karena itu, aturan ini berlaku untuk setiap bilangan asli n.

READ  Pengertian Induksi Matematika, Contoh Soal dan Penyelesainnya

Contoh 3. Jumlah kubus berturut-turut. Buktikan fakta aritmatika yang luar biasa ini:

13 + 23 + 33 + . . . + n3 = (1 + 2 + 3 + . . . + n)2.

“Jumlah kubus berturut-turut sama dengan kuadrat
dari angka pertama n. ”

Dengan kata lain, sesuai dengan Contoh 1:

13 + 23 + 33 + . . . + n3=n²(n + 1)²
                                                  4

Pembukti.

Untuk kenyamanan, kami akan menunjukkan jumlah hingga n oleh S (n). Kami berasumsi bahwa rumus ini benar untuk n = k.

S(k)   =   k²(k + 1)²

Kita harus menunjukkan bahwa rumusnya juga berlaku untuk n = k + 1

S(k + 1)   =   (k + 1)²(k + 2)²
          4

Untuk melakukannya, tambahkan kubus berikutnya ke S (k)

S(k + 1)   =   S(k) + (k + 1)3
  =   k²(k + 1)²
      4
  + (k + 1)3
  =   k²(k + 1)² + 4(k + 1)³
                4
  =   (k + 1)²[k² + 4(k + 1)]
                4

 

ketika mengambil (k + 1) 2 sebagai faktor normal,

  =   (k + 1)²(k² + 4k + 4)
                4
  =   (k + 1)²(k + 2)²

Ini adalah baris (2), yang ingin kami tampilkan.

Akhirnya, kita harus menunjukkan bahwa rumus itu benar untuk n = 1.

13   =   1²· 2²
   4
1   =   1· 4
  4

 

Karena itu rumus ini berlaku untuk setiap bilangan alami.

Masalah 1.

Menurut prinsip induksi matematika, untuk membuktikan fakta yang dinyatakan dari setiap bilangan alami n, ada dua hal yang harus dibuktikan.

 

a) Apa yang pertama?

Untuk melihat jawabannya, gerakkan mouse Anda ke area berwarna.
Untuk menutup kembali jawabannya, klik “Refresh” (“Reload”).

READ  Pengertian Vektor dan Jenis-jenisnya, serta Vektor R2 dan R3

Jika pernyataan itu benar untuk n = k, maka itu akan benar untuk n, k + 1.

b) Apa yang kedua?

Pernyataan ini berlaku untuk n = 1.

c) Bagian a.

berisi asumsi induksi. Apa itu

Pernyataan ini berlaku untuk n = k.

 

Masalah 2.

Misalkan S (n) = 2n – 1. Evaluasi

a) S (k) = 2k – 1

b) S (k + 1) = 2 (k + 1) – 1 = 2k + 2 – 1 = 2k + 1

 

Masalah 3.

Angka pertama n sama dengan kuadrat n.

 

a) Apa yang pertama?

Untuk melihat jawabannya, gerakkan mouse Anda ke area berwarna.
Untuk menutup kembali jawabannya, klik “Refresh” (“Reload”).

Jika pernyataan itu benar untuk n = k, maka itu akan benar untuk n, k + 1.

b) Apa yang kedua?

Pernyataan ini berlaku untuk n = 1.

c) Bagian a.

berisi asumsi induksi. Apa itu

Pernyataan ini berlaku untuk n = k.

Masalah 2. Misalkan S (n) = 2n – 1. Evaluasi

a) S (k) = 2k – 1

b) S (k + 1) = 2 (k + 1) – 1 = 2k + 2 – 1 = 2k + 1

 

Masalah 3.

Jumlah n angka pertama ganjil sama dengan kuadrat n.

1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) = n2.

 

Untuk membuktikan bahwa dengan induksi matematika, apa yang akan menjadi induksi

a.  asumsinya?

Pernyataan berikut ini berlaku untuk n = k:

1 + 3 + 5 + 7 +. . . + (2k – 1) = k2.

 

b.  Berdasarkan asumsi ini, apa yang harus kita tunjukkan?

Pernyataan berikut ini berlaku untuk penerusnya, k + 1:

1 + 3 + 5 + 7 +. . . + (2k – 1) + 2k + 1 = (k + 1) ².

 

c.  Tunjukkan.

Dengan menambahkan 2k +1 ke kedua sisi asumsi induksi:

1 + 3 + 5 + 7 +. . . + (2k – 1) + 2k + 1 = k² + 2k + 1

= (k + 1) 2

 

d.  Untuk melengkapi bukti dengan induksi matematika, apa yang harus kita lakukan

Pernyataan ini berlaku untuk n = 1.

Tunjukkan .

1 = 12

Berikut diatas adalah pengertian induksi matematika beserta contoh contohnya, semoga artikel ini bermanfaat untuk para siswa siswi yang sedang mengerjakan tuga sekolahnya, terima kasih ruang les