Pengertian, Rumus dan Contoh Soal Induksi Matematika

Diposting pada
Pengertian, Rumus dan Contoh Soal Induksi Matematika
4.8 (96%) 20 votes

Berikut adalah cuplikan sedikit materi tentang induksi matematika beserta contoh-contoh soal induksi matematika yang dapat dipelajari dan dijadikan referensi untuk mengerjakan soal-soal induksi matematika lainnya.

Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan perluasan dari materi logika matematika. Dimana dalam logika matematika mempelajari pernyataan yang bernilai benar maupun salah, ekuivalen atau ingkaran dan penarikan kesimpulan. Sedangkan induksi matematika adalah metode pembuktian deduktif untuk membuktikan pernyataan benar maupun salah. Materi ini bisa dibilang sulit-sulit gampang. Mengapa? Akan menjadi sulit jika kita tidak paham langkah-langkah dalam pembuatan induksi matematika. Sebaliknya akan menjadi mudah bila kita sudah paham betul tentang materi logika. Karena saling keterkaitan antara induksi matematika dan logika matematika. Perbedaan antara induksi matematika dan logika matematika adalah pada induksi matematika, variabel yang digunakan adalah berupa anggota dari himpunan bilangan asli sedangkan logika matematika berupa kalimat yang dikenal premis.

Berikut adalah langkah-langkah induksi matematika yang digunakan untuk pembuktian rumus atau pernyataan:

  1. n = 1
  2. n = k
  3. n = k + 1

Untuk penerapan induksi matematika, harus bisa menyatakan bahwa pernyataan P (k+1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Kemudian, untuk menyatakan persamaan P (k+1) dapat di substitusikan ke k+1 ke dalam pernyataan P(k).

 

Jenis-Jenis Induksi Matematika

Jenis-jenis induksi matematika dapat ditelaah lebih lanjut di bawah ini:

1. Deret Bilangan

Ilustrasi pembuktian secara induksi matematika bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =  n (n + 1).

Langkah 1

Untuk n = 1, maka:

1 =  n (n + 1)

1 =  (1) (1 + 1)

1 = 1 (maka terbukti bentuk rumus tersebut benar)

READ  Contoh Soal-Soal Persamaan Linear

Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka:

1 + 2 + 3 + … + k =  k (k + 1).

Langkah 3

Untuk n = k + 1, sehingga

1 + 2 + 3 + … + k + (k+1) =  (k + 1)((k + 1) + 1)

Pembuktiannya adalah:

1 + 2 + 3 + … + k + (k+1) =  k(k + 1) + (k + 1) , selanjutnya kedua ruas ditambah k + 1

=  k(k + 1) +  [2(k + 1)].(k+1) diubah menyerupai  k(k + 1)

=  [k(k + 1) + 2(k + 1)] (disederhanakan)

= (k2 + k + 2k + 2)

1 + 2 + 3 + … + k + (k+1) =  (k + 1)(k +2) (terbukti)

2. Bilangan Bulat Hasil Pembagian

Bilangan dikatakan habis dibagi bila hasil pembagian bilangan tersebut bilangan bulat.

Pembuktian 52n + 3n – 1 habis dibagi 9

Langkah 1

n = 1, maka:

52n + 3n – 1 = 52(1) + 3(1) – 1

= 52 + 3 – 1

= 27 (27 habis dibagi 9, maka n = 1 adalah benar)

Langkah 2

Rumus benar dimisalkan n = k, maka:

52n + 3n – 1 menjadi 52k + 3k – 1 (habis dibagi 9),

52k + 3k – 1 = 9b (dimana b merupakan hasil bagi 52k + 3k – 1 oleh 9

maka n = k adalah benar

Langkah 3

N = k + 1, pembuktiannya adalah:

52(k+1) + 3(k + 1) – 1

= 52k+2 + 3k + 3 – 1

= 52 (52k) + 3k + 3 – 1

kemudian (52k) dimasukkan ke dalam 52k + 3k – 1

= 25(52k + 3k – 1) – 75k + 25 + 3k + 3 – 1

= 25(9b) – 72k + 27

= 9(25b – 8k + 3) akan habis dibagi 9 (terbukti)

Contoh Soal Induksi Matematika Beserta Jawabannya

Untuk lebih memahami induksi matematika, berikut beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya:

CONTOH 1:  buktikan rumus Sn = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1)

= n2 (dimana semua bilangan bulat n ≥ 1)

Langkah 1

Rumus benar karena ketika n = 1 adalah

S1 = 1

      = 12

Langkah 2

Rumus benar ketika k + 1

Sk = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1)

= k2

                                                                Sk+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1]

= [1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1) + (2k + 2 – 1)

= Sk + 2k + 1

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Rumus tersebut adalah benar, untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

 

CONTOH 2:

READ  10 Sifat-Sifat Logaritma dan Bentuknya

Buktikan bahwa 32n + 2 2n + 2 habis dibagi 5.

 

Langkah 1

32(1) + 2 2(1) + 2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25 (habis dibagi 5, terbukti)

 

Langkah 2

(n = k) maka 32k + 2 2k + 2

 

Langkah 3

(n = k + 1) maka 32(k+1) + 2 2(k+1) + 2

= 32k+2 + 22k+2+2

                                = 32 (32k) + 22(22k+2)

= 10(32k) + 5(22k+2) – (32k + 22k+2)

Diperoleh:

  1. 10 (32k) habis dibagi 5
  2. 5 (22k+2) habis dibagi 5
  3. – (32k) + 22k+2 sama dengan langkah 2, habis dibagi 5

CONTOH 3:

Buktikan bahwa

13 + 23 + 33 + … + n3 =  n2 (n + 1)2

Langkah 1

 

13 =  (1)2 (1 + 1)2 =

1 = 1 (terbukti)

 

Langkah 2

n = k

13 + 23 + 33 + … + k3 =  k2 (k + 1)2

 

Langkah 3

n = k + 1

13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 =  (k + 1)2 (k + 1)2

 

13 + 23 + 33 + … + k3 + (k + 1)3 + (k + 1)=  k2 (k + 1)2 (k + 1)2

 

13 + 23 + 33 + … + k3 + (k + 1)3 + =   (k + 1)2 (k2 + 4k + 4)

 

13 + 23 + 33 + … + k3 + (k + 1)3 + =   (k + 1)2 (k + 2)(k + 2)

 

13 + 23 + 33 + … + k3 + (k + 1)3 + =   (k + 1)2 (k + 2)2 (terbukti)

 

Demikian contoh-contoh dari soal induksi matematika beserta jawabannya. Pembuktian yang dilakukan adalah proses terbentunya rumus suatu deret bilangan.